5043. Точки M
, H
и O
— середина стороны AB
, основание высоты AH
и центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC
соответственно. Прямые CO
и HM
пересекаются в точке K
. Докажите, что \angle AKC=90^{\circ}
.
Указание. Докажите, что точки A
, C
, H
и K
лежат на одной окружности.
Решение. Обозначим \angle ABC=\beta
. Тогда центральный угол AOC
равен 2\beta
. Из равнобедренного треугольника AOC
находим, что \angle ACK=\angle ACO=90^{\circ}-\beta
.
Отрезок HM
— медиана прямоугольного треугольника AHB
, поэтому треугольник AMH
равнобедренный (см. задачу 1109). Значит,
\angle AHK=\angle AHM=\angle MAH=\angle BAH=90^{\circ}-\beta=\angle ACK.
Из точек C
и H
, лежащих по одну сторону от прямой AK
, отрезок AK
виден под одним и тем же углом. Значит, точки A
, C
, H
и K
лежат на одной окружности, а так как \angle AHC=90^{\circ}
, то AC
— диаметр этой окружности. Следовательно, \angle AKC=90^{\circ}
.