5055. На плоскости дан треугольник ABC
и точка M
. Известно, что точки, симметричные точке M
относительно двух сторон треугольника ABC
попадают на окружность, описанную около треугольника ABC
. Докажите, что точка, симметричная точке M
относительно третьей стороны, также попадает на эту окружность.
Указание. Докажите, что три окружности, симметричные описанной окружности треугольника ABC
относительно сторон треугольника, имеют общую точку.
Решение. Пусть O
— центр описанной окружности треугольника ABC
, O_{B}
и O_{C}
— центры окружностей, симметричных окружности с центром O
относительно прямых AC
и AB
соответственно. Из условия задачи следует, что точка M
лежит на окружности с центром O_{B}
и на окружности с центром O_{C}
.
Пусть M_{B}
и M_{C}
— точки, симметричные данной точке M
относительно прямых AC
и AB
соответственно. Обозначим углы треугольника ABC
через \alpha
, \beta
, \gamma
соответственно. Тогда
\angle AO_{B}C=\angle AOC=2\angle ABC=2\beta,
\angle AMC=\frac{1}{2}(360^{\circ}-\angle AO_{B}C)=\frac{1}{2}(360^{\circ}-2\beta)=180^{\circ}-\beta.
Аналогично докажем, что \angle AMC=180^{\circ}-\gamma
. Пусть M_{A}
— точка, симметричная данной точке M
относительно прямой BC
. Тогда
\angle BM_{A}C=\angle BMC=360^{\circ}-\angle AMC-\angle AMB=
=360^{\circ}-(180^{\circ}-\beta)-180^{\circ}-\gamma=\beta+\gamma=180^{\circ}-\alpha=180^{\circ}-\angle BAC.
Значит, четырёхугольник BACM_{A}
— вписанный. Следовательно, точка M_{A}
лежит на описанной окружности треугольника ABC
.
Примечание. Из решения следует, что точка, обладающая таким свойством, только одна — точка пересечения высот треугольника ABC
.