5084. Точка M
лежит на диаметре AB
окружности. Хорда CD
окружности проходит через точку M
и пересекает прямую AB
под углом в 45^{\circ}
. Докажите, что величина CM^{2}+DM^{2}
не зависит от выбора точки M
.
Указание. Рассмотрите симметрию относительно прямой AB
.
Решение. Пусть C_{1}
— точка, симметричная точке C
относительно прямой AB
. Точка C_{1}
лежит на данной окружности, так как сама окружность симметрична относительно диаметра AB
. Поскольку
\angle C_{1}MD=180^{\circ}-2\cdot45^{\circ}=90^{\circ},
то
CM^{2}+DM^{2}=C_{1}M^{2}+DM^{2}=C_{1}D^{2},
\angle C_{1}CD=\angle AMC=45^{\circ}
(или \angle C_{1}CD=\angle AMC=45^{\circ}
). Поэтому длина C_{1}D
не зависит от выбора точки M
(см. задачу 805). Следовательно, сумма CM^{2}+DM^{2}
также не зависит от выбора точки M
на окружности.