5085. Равные окружности S_{1}
и S_{2}
касаются внутренним образом окружности S
в точках A_{1}
и A_{2}
. Пусть C
— некоторая точка окружности S
, прямые A_{1}C
и A_{2}C
пересекают окружности S_{1}
и S_{2}
в точках B_{1}
и B_{2}
соответственно. Докажите, что B_{1}B_{2}\parallel A_{1}A_{2}
.
Указание. Поскольку окружности S_{1}
и S_{2}
равны, то они переходят друг в друга при некоторой осевой симметрии. Рассмотрите эту симметрию.
Решение. Ясно, что окружности S_{1}
и S_{2}
симметричны относительно диаметра окружности S
, перпендикулярного их линии центров. При этой симметрии точки C
и B_{2}
перейдут в точки C'
и B_{2}'
.
Окружности S_{1}
и S
гомотетичны с центром гомотетии в точке A_{1}
, причём при этой гомотетии прямая B_{1}B_{2}'
переходит в прямую CC'
. Значит, эти прямые параллельны.
Кроме того, B_{2}B_{2}'\parallel CC'
. Поэтому точки B_{1}
, B_{2}'
и B_{2}
лежат на одной прямой, причём эта прямая параллельна прямым CC'
и A_{1}A_{2}
.