5091. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник ABC
по стороне AB=c
, высоте CC_{1}=h
и разности углов \varphi=\angle A-\angle B
.
Решение. Предположим, что AC\lt BC
. Проведём прямую l
, параллельную прямой AB
на расстоянии h
от неё. Надо найти на прямой l
точку C
такую, что \angle CAB-\angle CBA=\varphi
.
Пусть B_{1}
— точка, симметричная точке B
относительно прямой l
. Тогда
\angle ACB_{1}=\angle ACB+\angle BCB_{1}=(180^{\circ}-\angle A-\angle B)+2\angle B=180^{\circ}-\varphi.
Следовательно, точка C
есть точка пересечения прямой l
и окружности с хордой AB_{1}
, для которой \smile AB_{1}=2(180^{\circ}-\varphi)
(см. задачу 2889).
Задача всегда имеет единственное решение для 180^{\circ}\gt\varphi\gt-180^{\circ}
.