5105. В четырёхугольнике ABCD
известно, что DO=4
, BC=5
, \angle ABD=45^{\circ}
, где O
— точка пересечения диагоналей. Найдите BO
, если площадь четырёхугольника ABCD
равна \frac{1}{2}(AB\cdot CD+BC\cdot AD)
.
Ответ. 3.
Указание. Докажите, что ABCD
— вписанный четырёхугольник со взаимно перпендикулярными диагоналями (см. задачу 530).
Решение. Пусть C_{1}
— точка, симметричная вершине C
относительно серединного перпендикуляра к диагонали BD
. Тогда
S_{\triangle ABCD}=S_{\triangle ABC_{1}D}=S_{\triangle ABC_{1}}+S_{\triangle AC_{1}D}=
=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC_{1}\sin\angle ABC_{1}+\frac{1}{2}\cdot AD\cdot DC_{1}\sin\angle ADC_{1}\leqslant
\leqslant\frac{1}{2}(AB\cdot BC_{1}+AD\cdot DC_{1})=\frac{1}{2}(AB\cdot DC+AD\cdot BC),
причём равенство достигается только в случае, когда
\angle ABC_{1}=\angle ADC_{1}=90^{\circ}.
Поэтому четырёхугольник ABC_{1}D
— вписанный и AC_{1}
— диаметр его описанной окружности.
Серединный перпендикуляр к диагонали BD
является осью симметрии этой окружности. Поэтому на окружности лежит и вершина C
. Следовательно, четырёхугольник ABCD
— вписанный. Поскольку AC_{1}
— диаметр его описанной окружности, то \angle ACC_{1}=90^{\circ}
. Поэтому диагональ AC
параллельна серединному перпендикуляру к диагонали BD
. Следовательно, диагонали AC
и BD
четырёхугольника ABCD
взаимно перпендикулярны. Тогда в треугольнике COD
OD=4,~\angle COD=90^{\circ},~\angle OCD=\angle ACD=\angle ABD=45^{\circ}.
Поэтому OC=OD=4
. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника COB
находим, что
OB=\sqrt{BC^{2}-OC^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3.