5114. Докажите, что диаметр описанной около треугольника ABC
окружности, проведённый через вершину A
, делит сторону BC
в отношении \sin2C:\sin2B
, считая от вершины B
.
Указание. Примените теорему синусов.
Решение. Пусть AA_{1}
— диаметр описанной окружности треугольника ABC
. Обозначим \angle ABC=\beta
, \angle ACB=\gamma
.
Вписанные углы AA_{1}C
и ABC
опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle AA_{1}C=\angle ABC=\beta
. Аналогично \angle AA_{1}B=\gamma
.
Треугольники ABA_{1}
и ACA_{1}
прямоугольные, поэтому
\angle CBA_{1}=90^{\circ}-\beta,~\angle BCA_{1}=90^{\circ}-\gamma.
Применив теорему синусов к треугольникам BMA_{1}
и CMA_{1}
, получим, что
\frac{BM}{\sin\gamma}=\frac{MA_{1}}{\cos\beta},~\frac{CM}{\sin\beta}=\frac{MA_{1}}{\cos\gamma}.
Разделив первое из этих равенств на второе, найдём, что
\frac{BM}{CM}=\frac{\sin\gamma\cos\gamma}{\sin\beta\cos\beta}=\frac{2\sin\gamma\cos\gamma}{2\sin\beta\cos\beta}=\frac{\sin2\gamma}{\sin2\beta}.
Что и требовалось доказать.