5120. Прямые l
и m
пересекаются в точке O
, прямые l_{1}
и m_{1}
получены из прямых l
и m
поворотом на некоторый угол относительно точки O
. Докажите, что композиция симметрий относительно l
и m
и композиция симметрий относительно l_{1}
и m_{1}
— одно и то же преобразование.
Указание. Композиция симметрий относительно сторон угла величины \alpha
есть поворот вокруг вершины этого угла на угол, равный 2\alpha
.
Решение. Первое преобразование — поворот относительно точки O
на угол 2\alpha
, где \alpha
— угол между l
и m
, второе — поворот относительно точки O
на угол 2\alpha_{1}
, где \alpha_{1}
— угол между l_{1}
и m_{1}
. Остаётся заметить, что \alpha_{1}=\alpha
.