5121. Докажите, что композиция трёх симметрий относительно прямых l_{1}
, l_{2}
и l_{3}
, пересекающихся в точке O
, есть осевая симметрия.
Указание. Если повернуть две пересекающиеся прямые вокруг их точки пересечения на некоторый угол, то композиция симметрий относительно данных прямых совпадает с композицией симметрий относительно их образов при этом повороте.
Решение. Повернём прямые l_{1}
и l_{2}
так, чтобы l_{2}
совпала с l_{3}
. При этом прямая l_{1}
перейдёт в некоторую прямую l
. Композиция симметрий относительно прямых l_{1}
и l_{2}
совпадает с композицией симметрий относительно прямых l
и l_{3}
, так как в каждом случае это поворот на один и тот же угол. Получаем симметрию относительно прямой l
, а затем — тождественное преобразование (две симметрии относительно l_{3}
).