5128. Докажите, что композиция n
осевых симметрий относительно прямых l_{1}
, l_{2}
, \ldots
, l_{n}
, проходящих через точку O
, есть:
а) поворот, если n
чётно;
б) осевая симметрия, если n
нечётно.
Указание. Композиция двух симметрий относительно пересекающихся прямых есть поворот. Композиция поворота и симметрии относительно прямой, проходящей через центр поворота, есть осевая симметрия.
Решение. а) Пусть n
— чётно. Группируя прямые по парам: l_{1}
с l_{2}
, l_{3}
с l_{4}
, \ldots
, l_{n-1}
с l_{n}
, получим композицию \frac{n}{2}
поворотов вокруг точки O
, т. е. поворот.
б) Пусть n
— нечётно. Группируя первые n-1
прямых по парам, получим композицию \frac{n-1}{2}
поворотов вокруг точки O
и симметрии относительно прямой l_{n}
, т. е. осевую симметрию.