5129. Докажите, что композиция симметрий относительно n
параллельных прямых l_{1}
, l_{2}
, \ldots
, l_{n}
есть:
а) параллельный перенос, если n
чётно;
б) осевая симметрия, если n
нечётно.
Указание. Композиция двух симметрий относительно параллельных прямых есть параллельный перенос. Композиция параллельного переноса в направлении, перпендикулярном некоторой прямой, и симметрии относительно этой прямой есть осевая симметрия.
Решение. а) Пусть n
— чётно. Группируя прямые по парам: l_{1}
с l_{2}
, l_{3}
с l_{4}
, \ldots
, l_{n-1}
с l_{n}
, получим композицию \frac{n}{2}
параллельных переносов, т. е. параллельный перенос.
б) Пусть n
— нечётно. Группируя первые n-1
прямых по парам, получим композицию \frac{n-1}{2}
параллельных переносов и симметрии относительно прямой l_{n}
, т. е. осевую симметрию.