5141. Серединный перпендикуляр к стороне AB
треугольника ABC
пересекает сторону AC
в точке K
, причём точка K
делит ломаную ACB
на две части равной длины. Докажите, что треугольник ABC
— равнобедренный.
Указание. Воспользуйтесь свойством серединного перпендикуляра и неравенством треугольника.
Решение. Пусть BC\ne AC
. Отрезки AK
и BK
симметричны относительно серединного перпендикуляра к стороне AB
. Следовательно, AK=BK
.
В треугольнике BKC
BK\lt KC+BC,~\mbox{т. е.}~AK\lt KC+BC,
но AK=KC+BC
, что невозможно. Следовательно, AC=BC
.