5146. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD
. Рассмотрим четыре окружности, каждая из которых касается стороны четырёхугольника и продолжений смежных с ней сторон. Докажите, что центры этих окружностей лежат на одной окружности.
Указание. Сумма двух противоположных углов четырёхугольника с вершинами в центрах окружностей равна 180^{\circ}
.
Решение. Пусть O_{1}
, O_{2}
, O_{3}
, O_{4}
— центры рассматриваемых окружностей, касающихся сторон соответственно AB
, BC
, CD
и AD
четырёхугольника ABCD
. Обозначим
\angle BAC=\alpha,~\angle ABC=\beta,~\angle BCD=\gamma,~\angle ADC=\delta.
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому вершина A
лежит на стороне O_{1}O_{2}
четырёхугольника O_{1}O_{2}O_{3}O_{4}
. Аналогично для вершин B
, C
и D
. Тогда
\angle O_{1}O_{2}O_{3}=\angle AO_{2}B=180^{\circ}-\frac{1}{2}(180^{\circ}-\alpha)-\frac{1}{2}(180^{\circ}-\beta)=\frac{\alpha+\beta}{2}.
Аналогично \angle O_{1}O_{4}O_{3}=\frac{\gamma+\delta}{2}
. Значит,
\angle O_{1}O_{2}O_{3}+\angle O_{1}O_{4}O_{3}=\frac{\alpha+\beta}{2}+\frac{\gamma+\delta}{2}=\frac{\alpha+\beta+\gamma+\delta}{2}=\frac{360^{\circ}}{2}=180^{\circ}.
Следовательно, точки O_{1}
, O_{2}
, O_{3}
, O_{4}
лежат на одной окружности. Что и требовалось доказать.