5154. В треугольнике KLM
дано: LK:KM=5:7
, расстояние от середины биссектрисы KN
до стороны LK
равно 2, площадь треугольника KLM
равна 48. Найдите KL
.
Ответ. 10.
Решение. Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам, поэтому \frac{LN}{NM}=\frac{LK}{KM}=\frac{5}{7}
, значит, \frac{S_{\triangle KLN}}{S_{\triangle KMN}}=\frac{LN}{NM}=\frac{5}{7}
. Следовательно,
S_{\triangle KLN}=\frac{5}{12}S_{\triangle KLM}=\frac{5}{2}\cdot48=20.
Пусть P
и H
— основания перпендикуляров, опущенных на прямую KL
из середины Q
биссектрисы KN
и из основания N
биссектрисы KN
соответственно. Тогда QP
— средняя линия треугольника KNH
, поэтому NH=2QP=4
. Следовательно, S_{\triangle KLN}=\frac{1}{2}KL\cdot NH
, или 20=\frac{1}{2}KL\cdot4
, откуда находим, что KL=10
.