5156. В трапеции KLMN
(LM\parallel KN
) KL\ne MN
. Две прямые, параллельные основаниям LM
и KN
, делят трапецию на три части, в каждую из которых можно вписать окружность. Радиус средней из этих окружностей в 2 раза меньше радиуса наибольшей. Найдите отношение радиуса наименьшей из этих окружностей к радиусу наибольшей.
Ответ. \frac{1}{4}
.
Решение. Пусть продолжения боковых сторон трапеции пересекаются в точке O
, точки A
и C
лежат на боковой стороне KL
трапеции KLMN
, точки B
и D
— на боковой стороне MN
, причём AB\parallel CD\parallel KN
и LM\lt AB\lt CD\lt KN
. Обозначим через x
радиус наименьшей из окружностей — окружности вписанной в трапецию ALMB
, через r
— радиус средней окружности — окружности, вписанной в трапецию CABD
. Тогда радиус наибольшей окружности — окружности, вписанной в трапецию KCDN
— равен 2r
.
При гомотетии с центром O
, переводящей меньшую окружность в среднюю, трапеция ALMB
переходит в трапецию CABD
, значит, трапеция ALMB
подобна трапеции CABD
, причём коэффициент подобия равен отношению меньших оснований. Следовательно, \frac{LM}{AB}=\frac{x}{r}
. Аналогично, трапеция CABD
подобна трапеции KCDN
с коэффициентом \frac{AB}{CD}=\frac{r}{2r}=\frac{1}{2}
. Отношения меньшего основания трапеции к большему у подобных трапеций одинаковы, поэтому \frac{x}{r}=\frac{LM}{AB}=\frac{AB}{CD}=\frac{1}{2}
, откуда x=\frac{1}{2}r
. Следовательно, \frac{x}{2r}=\frac{1}{4}
.