5169. Биссектрисы внутренних углов параллелограмма ABCD
образуют четырёхугольник EFGH
, каждая вершина которого получена как пересечение двух биссектрис. Найдите сумму квадратов всех сторон в четырёхугольнике EFGH
, если AB=AD+\frac{3}{2}
.
Ответ. \frac{9}{2}
.
Решение. Пусть биссектрисы углов при вершинах A
и D
параллелограмма ABCD
пересекаются в точке E
, биссектрисы углов при вершинах C
и D
— в точке F
, при вершинах B
и C
— в точке G
, при вершинах A
и B
— в точке H
. Противоположные стороны четырёхугольника EFGH
попарно параллельны, значит, EFGH
— параллелограмм.
Пусть биссектрисы AE
и CG
пересекают стороны CD
и AB
в точках P
и Q
. Треугольник ADP
— равнобедренный, так как
\angle APD=\angle BAP=\angle DAP.
Аналогично, треугольник CBQ
— также равнобедренный.
Угол AED
— прямой как угол между биссектрисами внутренних односторонних углов при параллельных прямых AB
и CD
и секущей AP
, поэтому EFGH
— прямоугольник. Биссектриса DE
равнобедренного треугольника ADP
является его медианой, значит, E
— середина AP
. Аналогично, G
— середина CQ
.
Четырёхугольник EGCP
— параллелограмм, так как его противоположные стороны EP
и CG
равны и параллельны, значит,
EG=CP=CD-DP=CD-AD=AB-AD=\frac{3}{2}.
Диагонали прямоугольника равны, поэтому FH=EG=\frac{3}{2}
, а так как сумма квадратов всех сторон любого параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей (см. задачу 4011), то сумма квадратов всех сторон прямоугольника EFGH
равна 2\cdot\frac{9}{4}=\frac{9}{2}
.