5176. В треугольнике ABC
известны стороны AB=9
, BC=8
, AC=7
, а AD
— биссектриса угла BAC
. Окружность проходит через точку A
, касается стороны BC
в точке D
и пересекает стороны AB
и AC
в точках E
и F
соответственно. Найдите EF
.
Ответ. 6.
Решение. Вписанные углы DAE
и DFE
опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle DFE=\angle DAE
. Аналогично, \angle DEF=\angle DAF
. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что \angle BDE=\angle DEF
, а так как \angle DAE=\angle DAF
, то \angle BDE=\angle DEF
. Значит, EF\parallel BC
.
По свойству биссектрисы треугольника \frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}=\frac{9}{7}
, поэтому BD=\frac{9}{16}BC=\frac{9}{16}\cdot8=\frac{9}{2}
.
По теореме о касательной и секущей BD^{2}=BE\cdot AB
, откуда
BE=\frac{BD^{2}}{AB}=\frac{\frac{81}{4}}{9}=\frac{9}{4},
значит,
AE=AB-BE=9-\frac{9}{4}=\frac{27}{4}.
Треугольник AEF
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом \frac{AE}{AB}=\frac{\frac{27}{4}}{9}=\frac{3}{4}
, следовательно,
EF=\frac{3}{4}BC=\frac{3}{4}\cdot8=6.