5193. Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с основанием 6, если синус одного его угла равен косинусу другого.
Ответ. 3 или 2\sqrt{3}
.
Решение. Пусть R
— искомый радиус. Из условия задачи следует, что если один из углов треугольника равен \alpha
, то остальные углы равны либо 90^{\circ}-\alpha
и 90^{\circ}
, либо 90^{\circ}+\alpha
и 180^{\circ}-\alpha-(90^{\circ}+\alpha)=90^{\circ}-2\alpha
.
Поскольку треугольник равнобедренный, в первом случае возможен только вариант \alpha=90^{\circ}-\alpha
, т. е. \alpha=45^{\circ}
и 90^{\circ}-\alpha=45^{\circ}
. Тогда радиус равен половине гипотенузы, т. е. 3.
Во втором случае либо 90^{\circ}+\alpha=\alpha
, что невозможно, либо 90^{\circ}+\alpha=90^{\circ}-2\alpha
, что также невозможно, либо 90^{\circ}-2\alpha=\alpha
, откуда находим, что \alpha=30^{\circ}
. Тогда остальные углы равны 30^{\circ}
и 120^{\circ}
, а так как основание треугольника равно 6, то R=\frac{6}{2\sin120^{\circ}}=2\sqrt{3}
.