5195. На основании AC
равнобедренного треугольника ABC
взята точка E
, а на боковых сторонах AB
и BC
точки D
и F
так, что DE\parallel BC
и EF\parallel AB
. Какую часть площади треугольника ABC
занимает площадь треугольника DEF
, если BF:EF=2:3
?
Ответ. \frac{6}{25}
.
Решение. Четырёхугольник BFED
— параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны. Поэтому S_{\triangle DEF}=S_{\triangle BEF}
.
Положим BF=2x
, EF=3x
. Тогда DE=BF=2x
и CF=EF=3x
. По теореме о пропорциональных отрезках \frac{CE}{AE}=\frac{CF}{BF}=\frac{3}{2}
, следовательно,
S_{\triangle DEF}=S_{\triangle BEF}=\frac{BF}{BC}S_{\triangle BEC}=\frac{BF}{BC}\cdot\frac{CE}{AC}S_{\triangle ABC}=\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{5}S_{\triangle ABC}=\frac{6}{25}S_{\triangle ABC}.