5200. В треугольнике ABC
сторона AC
не длиннее, чем 3, сторона BC
не длиннее, чем 4, а его площадь не меньше, чем 6. Найдите радиус описанной вокруг треугольника ABC
окружности.
Ответ. \frac{5}{2}
.
Указание. Пользуясь формулой S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC\sin\angle C
, докажите, что площадь треугольника равна 6, а его стороны AC
и BC
равны 3 и 4.
Решение. Пусть S
— площадь треугольника ABC
, R
— радиус его описанной окружности, \alpha
— угол при вершине C
. Тогда
6\leqslant S=\frac{1}{2}AC\cdot BC\sin\alpha\leqslant\frac{1}{2}\cdot3\cdot4\sin\alpha=6\sin\alpha\leqslant6.
Это возможно лишь в случае, когда S=6
, AC=3
, BC=4
, \alpha=90^{\circ}
. При этом треугольник ABC
— прямоугольный, поэтому
AB=\sqrt{AC^{2}+AB^{2}}=\sqrt{9+16}=5.
Следовательно,
R=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}.