5209. На сторонах AC
и BC
треугольника ABC
выбраны точки M
и N
соответственно так, что MN\parallel AB
. На стороне AC
отмечена точка K
так, что CK=AM
. Отрезки AN
и BK
пересекаются в точке F
. Докажите, что площади треугольника ABF
и четырёхугольника KFNC
равны.
Указание. Пусть диагонали BM
и AN
трапеции ABNM
пересекаются в точке P
. Тогда
S_{\triangle ABM}=S_{\triangle CBK},~S_{\triangle BPN}=S_{\triangle APM}.
Решение. Заметим, что треугольники ABM
и CBK
равновелики, так как у них общая высота, проведённая из вершины B
и равны основания AM
и CK
.
Пусть диагонали BM
и AN
трапеции ABNM
пересекаются в точке P
. Тогда треугольники BPN
и APM
также равновелики. Следовательно,
S_{\triangle ABF}=S_{\triangle ABP}+S_{\triangle BPN}-S_{\triangle BFN}=S_{\triangle ABP}+S_{\triangle APM}-S_{\triangle BFN}=S_{\triangle ABM}-S_{\triangle BFN},
S_{KFNC}=S_{\triangle BKC}-S_{\triangle BFN}=S_{\triangle ABM}-S_{\triangle BFN}=S_{\triangle ABF}.
Что и требовалось доказать.