5214. Окружности \omega_{1}
и \omega_{2}
касаются внешним образом в точке P
. Через центр \omega_{1}
проведена прямая l_{1}
, касающаяся \omega_{2}
. Аналогично, прямая l_{2}
касается \omega_{1}
и проходит через центр \omega_{2}
. Оказалось, что прямые l_{1}
и l_{2}
непараллельны. Докажите, что точка P
лежит на биссектрисе одного из углов, образованных l_{1}
и l_{2}
.
Решение. Пусть прямая l_{1}
касается окружности \omega_{2}
с центром O_{2}
и радиусом r_{2}
в точке A_{1}
, прямая l_{2}
касается окружности \omega_{1}
с центром O_{1}
и радиусом r_{1}
в точке A_{2}
, а прямые l_{1}
и l_{2}
пересекаются в точке M
.
Из подобия прямоугольных треугольников O_{1}A_{2}M
и O_{1}A_{1}M
следует, что \frac{O_{1}M}{O_{2}M}=\frac{O_{1}A_{2}}{O_{2}A_{1}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}
. С другой стороны, точки O_{1}
, P
и O_{2}
лежат на одной прямой (линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания), поэтому точка P
лежит на стороне O_{1}O_{2}
треугольника O_{1}PO_{2}
и при этом \frac{O_{1}P}{O_{2}P}=\frac{r_{2}}{r_{2}}=\frac{O_{1}M}{O_{2}M}
. Следовательно, MP
— биссектриса треугольника O_{1}MO_{2}
. Что и требовалось доказать.