5224. Основание равнобедренного треугольника равно 40, а высота, опущенная на боковую сторону равна 24. Внутри треугольника расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух его сторон. Найдите радиусы окружностей.
Ответ. 5 или \frac{100}{23}
.
Решение. Первый способ. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC
, в котором CT=24
— высота, опущенная на боковую сторону AB
, BC=40
— основание. Пусть AH
— высота, опущенная на основание. Тогда H
— середина BC
.
Обозначим \angle ABC=\angle ACB=\alpha
. Тогда
\sin\alpha=\frac{CT}{BC}=\frac{24}{40}=\frac{3}{5},~\cos\alpha=\frac{4}{5},~
\tg\alpha=\frac{3}{4},~
AB=\frac{BH}{\cos\alpha}=\frac{20}{\frac{4}{5}}=25,
\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{\frac{3}{5}}{1+\frac{4}{5}}=\frac{1}{3}.
Предположим, что окружность радиуса r
с центром O_{1}
вписана в угол ACB
и касается основания BC
в точке N
, а окружность того же радиуса с центром O_{2}
вписана в угол ABC
, касается первой окружности, а также касается основания BC
в точке M
(рис. 1).
Из прямоугольного треугольника BMO_{2}
находим, что
BM=O_{2}M\ctg\angle MBO_{2}=r\ctg\frac{\alpha}{2}=3r
(центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе). Тогда CN=BM=3r
.
Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому O_{1}O_{2}=2r
, а так как O_{1}O_{2}MN
— прямоугольник, то MN=O_{1}O_{2}=2r
. Следовательно,
40=BC=BM+MN+CN=3r+2r+3r=8r,
откуда находим, что r=5
.
Пусть теперь окружность радиуса r
с центром O_{1}
вписана в угол BAC
и касается боковой стороны AB
в точке P
, вторая окружность радиуса r
с центром O_{2}
вписана в угол ABC
, касается боковой стороны AB
в точке Q
, а также касается первой окружности (рис. 2).
Из прямоугольных треугольников APO_{1}
и BQO_{2}
находим, что
AP=O_{1}P\tg\angle AO_{1}P=r\tg\alpha=\frac{3}{4}r,
BQ=O_{2}Q\ctg\angle QBO_{2}=r\ctg\frac{\alpha}{2}=3r.
Следовательно,
25=AB=AP+PQ+BQ=AP+O_{1}O_{2}+BQ=
=\frac{3}{4}r+2r+3r=\frac{23}{4}r,
откуда находим, что r=\frac{100}{23}
.
В случае, когда окружности вписаны в углы BAC
и ACB
, получим тот же результат.
Второй способ. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC
, в котором CT=24
— высота, опущенная на боковую сторону AB
, BC=40
— основание. Пусть AH
— высота, опущенная на основание. Тогда H
— середина BC
.
Обозначим \angle ABC=\angle ACB=\alpha
. Тогда
\sin\alpha=\frac{CT}{BC}=\frac{24}{40}=\frac{3}{5},~\cos\alpha=\frac{4}{5},~
AB=\frac{BH}{\cos\alpha}=\frac{20}{\frac{4}{5}}=25,~
=S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CT=300.
Предположим, что окружность радиуса r
с центром O_{1}
вписана в угол ACB
, а окружность того же радиуса с центром O_{2}
вписана в угол ABC
и касается первой окружности (рис. 3).
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому лучи BO_{1}
и CO_{2}
— биссектрисы углов треугольника. Точка их пересечения O
— центр окружности, вписанной в треугольник ABC
. Пусть d
— радиус этой окружности. Тогда
d=\frac{2S_{\triangle ABC}}{AB+AC+BC}=\frac{2\cdot300}{25+25+40}=\frac{20}{3}.
Треугольники O_{1}OO_{2}
и BOC
подобны, поэтому их высоты OP
и OH
пропорциональны сторонам O_{1}O_{2}
и BC
, т. е. \frac{d-r}{d}=\frac{2r}{BC}
, или \frac{\frac{20}{3}-r}{\frac{20}{3}}=\frac{2r}{40}
. Отсюда находим, что r=5
.
Пусть теперь окружность радиуса r
с центром O_{1}
вписана в угол BAC
, а вторая окружность того же радиуса r
с центром O_{2}
вписана в угол ABC
и касается первой окружности (рис. 4).
Треугольники O_{1}OO_{2}
и AOB
подобны, поэтому их высоты OQ
и OF
пропорциональны сторонам O_{1}O_{2}
и AB
, т. е. \frac{d-r}{d}=\frac{2r}{AB}
, или \frac{\frac{20}{3}-r}{\frac{20}{3}}=\frac{2r}{25}
. Отсюда находим, что r=\frac{100}{23}
.
