5227. Дан равнобедренный треугольник с боковой стороной 4 и углом 120^{\circ}
. Внутри него расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей.
Ответ. \sqrt{3}-1
или \frac{3-\sqrt{3}}{2}
.
Решение. Первый способ. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC
, в котором AB=AC=4
, \angle BAC=120^{\circ}
. Пусть AH
— высота треугольника ABC
. Тогда H
— середина BC
,
BC=2BH=2AB\cos30^{\circ}=2\cdot4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}.
Предположим, что окружность радиуса r
с центром O_{1}
вписана в угол ACB
и касается основания BC
в точке N
, а окружность того же радиуса с центром O_{2}
вписана в угол ABC
, касается основания BC
в точке M
, а первой окружности — в точке D
(рис. 1).
Из прямоугольного треугольника BMO_{2}
находим, что
BM=O_{2}M\ctg\angle MBO_{2}=r\ctg15^{\circ}=r\cdot\frac{1+\cos30^{\circ}}{\sin30^{\circ}}=r(2+\sqrt{3})
(центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе). Тогда CN=BM=r(2+\sqrt{3})
.
Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому O_{1}O_{2}=2r
, а так как O_{1}O_{2}MN
— прямоугольник, то MN=O_{1}O_{2}=2r
. Следовательно,
4\sqrt{3}=BC=BM+MN+CN=r(2+\sqrt{3})+2r+r(2+\sqrt{3})=r(6+2\sqrt{3}),
откуда находим, что
r=\frac{4\sqrt{3}}{6+2\sqrt{3}}=\sqrt{3}-1.
Пусть теперь окружность радиуса r
с центром O_{1}
вписана в угол BAC
и касается боковой стороны AB
в точке P
, вторая окружность радиуса r
с центром O_{2}
вписана в угол ABC
, касается боковой стороны AB
в точке Q
, а также касается первой окружности (рис. 2).
Из прямоугольных треугольников APO_{1}
и BQO_{2}
находим, что
AP=O_{1}P\ctg\angle PAO_{1}=r\ctg60^{\circ}=\frac{r}{\sqrt{3}},
BQ=O_{2}Q\ctg\angle QBO_{2}=r\ctg15^{\circ}=r\cdot\frac{1+\cos30^{\circ}}{\sin30^{\circ}}=r(2+\sqrt{3}).
Следовательно,
4=AB=AP+PQ+QB=AP+O_{1}O_{2}+QB=\frac{r}{\sqrt{3}}+2r+r(2+\sqrt{3}),
откуда находим, что r=\frac{3-\sqrt{3}}{2}
.
В случае, когда окружности вписаны в углы BAC
и ACB
, получим тот же результат.
Второй способ. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC
, в котором
AB=AC=4,~\angle BAC=120^{\circ},~S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB^{2}\sin120^{\circ}=\frac{1}{2}\cdot16\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}.
Предположим, что окружность радиуса r
с центром O_{1}
вписана в угол ACB
, а окружность того же радиуса с центром O_{2}
вписана в угол ABC
и касается первой окружности (рис. 3).
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому лучи BO_{1}
и CO_{2}
— биссектрисы углов треугольника. Точка их пересечения O
— центр окружности, вписанной в треугольник ABC
. Пусть d
— радиус этой окружности. Тогда
d=\frac{2S_{\triangle ABC}}{AB+AC+BC}=\frac{8\sqrt{3}}{8+4\sqrt{3}}=2\sqrt{3}(2-\sqrt{3})=4\sqrt{3}-6.
Треугольники O_{1}OO_{2}
и BOC
подобны, поэтому их высоты OP
и OH
пропорциональны сторонам O_{1}O_{2}
и BC
, т. е. \frac{d-r}{d}=\frac{2r}{BC}
, или \frac{4\sqrt{3}-6-r}{4\sqrt{3}-6}=\frac{2r}{4\sqrt{3}}
. Отсюда находим, что r=\sqrt{3}-1
.
Пусть теперь окружность радиуса r
с центром O_{1}
вписана в угол BAC
, а вторая окружность того же радиуса r
с центром O_{2}
вписана в угол ABC
и касается первой окружности (рис. 4).
Треугольники O_{1}OO_{2}
и AOB
подобны, поэтому их высоты OQ
и OF
пропорциональны сторонам O_{1}O_{2}
и AB
, т. е. \frac{d-r}{d}=\frac{2r}{AB}
, или \frac{4\sqrt{3}-6-r}{4\sqrt{3}-6}=\frac{2r}{4}
. Отсюда находим, что r=\frac{3-\sqrt{3}}{2}
.
