5232. Дан равнобедренный прямоугольный треугольник с боковой стороной 2. Внутри него расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей.
Ответ. \sqrt{2}-1
или \frac{4-\sqrt{2}}{7}
.
Решение. Первый способ. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC
, в котором AB=AC=2
, \angle BAC=90^{\circ}
. Тогда
BC=AB\cdot\cos45^{\circ}=2\sqrt{2}.
Предположим, что окружность радиуса r
с центром O_{1}
вписана в угол ACB
и касается основания BC
в точке N
, а окружность того же радиуса с центром O_{2}
вписана в угол ABC
, касается основания BC
в точке M
, а первой окружности — в точке D
(рис. 1).
Из прямоугольного треугольника BMO_{2}
находим, что
BM=O_{2}M\ctg\angle MBO_{2}=r\ctg22{,}5^{\circ}=
=r\cdot\frac{1+\cos45^{\circ}}{\sin45^{\circ}}=r(1+\sqrt{2})
(центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе). Тогда CN=BM=r(1+\sqrt{2})
.
Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому O_{1}O_{2}=2r
, а так как O_{1}O_{2}MN
— прямоугольник, то MN=O_{1}O_{2}=2r
. Следовательно,
2\sqrt{2}=BC=BM+MN+CN=
=r(1+\sqrt{2})+2r+r(1+\sqrt{2})=r(4+2\sqrt{2}),
откуда находим, что
r=\frac{2\sqrt{2}}{4+2\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1.
Пусть теперь окружность радиуса r
с центром O_{1}
вписана в угол BAC
и касается боковой стороны AB
в точке P
, вторая окружность радиуса r
с центром O_{2}
вписана в угол ABC
, касается боковой стороны AB
в точке Q
, а также касается первой окружности (рис. 2).
Из прямоугольных треугольников APO_{1}
и BQO_{2}
находим, что
AP=O_{1}P\ctg\angle PAO_{1}=r\ctg45^{\circ}=r,
BQ=O_{2}Q\ctg\angle QBO_{2}=r\ctg22{,}5^{\circ}=
=r\cdot\frac{1+\cos45^{\circ}}{\sin45^{\circ}}=r(1+\sqrt{2}).
Следовательно,
2=AB=AP+PQ+QB=AP+O_{1}O_{2}+QB=
=r+2r+r(1+\sqrt{2}),
откуда находим, что r=\frac{4-\sqrt{2}}{7}
.
В случае, когда окружности вписаны в углы BAC
и ACB
, получим тот же результат.
Второй способ. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC
, в котором
AB=AC=2,~\angle BAC=90^{\circ},~BC=2\sqrt{2},~S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB^{2}=2.
Предположим, что окружность радиуса r
с центром O_{1}
вписана в угол ACB
, а окружность того же радиуса с центром O_{2}
вписана в угол ABC
и касается первой окружности (рис. 3).
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому лучи BO_{1}
и CO_{2}
— биссектрисы углов треугольника. Точка их пересечения O
— центр окружности, вписанной в треугольник ABC
. Пусть d
— радиус этой окружности. Тогда
d=\frac{2S_{\triangle ABC}}{AB+AC+BC}=\frac{4}{4+2\sqrt{2}}=2-\sqrt{2}.
Треугольники O_{1}OO_{2}
и BOC
подобны, поэтому их высоты OP
и OH
пропорциональны сторонам O_{1}O_{2}
и BC
, т. е. \frac{d-r}{d}=\frac{2r}{BC}
, или \frac{2-\sqrt{2}-r}{2-\sqrt{2}}=\frac{2r}{2\sqrt{2}}
. Отсюда находим, что r=\sqrt{2}-1
.
Пусть теперь окружность радиуса r
с центром O_{1}
вписана в угол BAC
, а вторая окружность того же радиуса r
с центром O_{2}
вписана в угол ABC
и касается первой окружности (рис. 4).
Треугольники O_{1}OO_{2}
и AOB
подобны, поэтому их высоты OQ
и OF
пропорциональны сторонам O_{1}O_{2}
и AB
, т. е. \frac{d-r}{d}=\frac{2r}{AB}
, или \frac{2-\sqrt{2}-r}{2-\sqrt{2}}=\frac{2r}{2}
. Отсюда находим, что r=\frac{4-\sqrt{2}}{7}
.
