5242. Найдите косинус угла при основании равнобедренного треугольника, если известно, что радиус его вписанной окружности в 6 раз меньше радиуса вневписанной окружности.
Ответ. \frac{1}{5}
или \frac{5}{7}
.
Решение. Первый способ. Пусть r
— радиус окружности с центром O
, вписанной в равнобедренный треугольник ABC
с основанием BC
, M
— точка касания этой окружности с боковой стороной AB
, AH
— высота треугольника.
Предположим, что окружность радиуса 6r
с центром O_{1}
касается боковой стороны AB
, продолжения основания BC
в точке D
и продолжения боковой стороны AC
в точке E
(рис. 1). Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому AO_{1}
— биссектриса угла BAE
. В четырёхугольнике AHDO_{1}
угол HAO_{1}
— прямой как угол между биссектрисами смежных углов BAC
и BAE
, а так как \angle HDO_{1}=\angle AHD=90^{\circ}
, то AHDO_{1}
— прямоугольник, поэтому AH=O_{1}D=6r
.
Заметим, что BO
— биссектриса прямоугольного треугольника ABH
, поэтому
\cos\angle ABC=\cos\angle ABH=\frac{BH}{AB}=\frac{OH}{OA}=\frac{OH}{AH-OH}=\frac{r}{6r-r}=\frac{1}{5}.
В случае, когда вневписанная окружность касается стороны AC
и продолжений сторон BC
и AB
, получим тот же результат.
Предположим теперь, что окружность радиуса 6r
с центром O_{2}
касается основания BC
, продолжения боковой стороны AC
треугольника ABC
и продолжения боковой стороны AB
в точке N
(рис. 2). Тогда прямоугольные треугольники AMO
и ANO_{2}
подобны с коэффициентом \frac{OM}{O_{2}N}=\frac{r}{6r}=\frac{1}{6}
, поэтому \frac{AO}{AO_{2}}=\frac{1}{6}
, или
\frac{AO}{AO+OO_{2}}=\frac{1}{6},~\frac{AO}{AO+OH+HO_{2}}=\frac{1}{6},~\frac{AO}{AO+7r}=\frac{1}{6},~
откуда находим, что AO=\frac{7}{5}r
, а так как \angle ABC=\angle AOM
, то,
\cos\angle ABC=\cos\angle AOM=\frac{OM}{AO}=\frac{r}{\frac{7}{5}r}=\frac{5}{7}.
Второй способ. Пусть r
— радиус окружности с центром O
, вписанной в равнобедренный треугольник ABC
с основанием BC
, M
— точка касания этой окружности с боковой стороной AB
, AH
— высота треугольника.
Предположим, что окружность радиуса 6r
с центром O_{1}
касается боковой стороны AB
, продолжения основания BC
в точке D
и продолжения боковой стороны AC
в точке E
(рис. 1). Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому AO_{1}
— биссектриса угла BAE
. В четырёхугольнике AHDO_{1}
угол HAO_{1}
— прямой как угол между биссектрисами смежных углов BAC
и BAE
, а так как \angle HDO_{1}=\angle AHD=90^{\circ}
, то AHDO_{1}
— прямоугольник, поэтому
AH=O_{1}D=6r,~OA=AH-OH=6r-r=5r,
а так как \angle ABC=\angle AOM
, то
\cos\angle ABC=\cos\angle AOM=\frac{OM}{OA}=\frac{r}{5r}=\frac{1}{5}.
В случае, когда вневписанная окружность касается стороны AC
и продолжений сторон BC
и AB
, получим тот же результат.
Предположим теперь, что окружность радиуса 6r
с центром O_{2}
касается основания BC
и продолжений боковых сторон треугольника ABC
(рис. 2). Воспользуемся формулами r=\frac{S}{p}
и r_{a}=\frac{S}{p-a}
, где r
— радиус вписанной окружности треугольника площади S
, p
— полупериметр треугольника, r_{a}
— радиус вневписанной окружности, касающейся стороны, равной a
.
Обозначим BC=a
, AB=AC=b
. Тогда
\frac{1}{6}=\frac{r}{3r}=\frac{\frac{S}{p}}{\frac{S}{p-a}}=\frac{p-a}{p}=\frac{b+\frac{a}{2}-a}{b+\frac{a}{2}}=\frac{2b-a}{2b+a},
откуда находим, что b=\frac{7}{10}a
. Следовательно,
\cos\angle ABC=\frac{BH}{AB}=\frac{a}{2b}=\frac{a}{\frac{7}{5}b}=\frac{5}{7}.