5268. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD
со сторонами AB=a
, BC=b
, CD=c
и DA=d
. Окружности, вписанные в треугольники ABC
и ACD
, касаются диагонали AC
соответственно в точках M
и N
. Докажите, что MN=\frac{1}{2}|a+c-b-d|
.
Указание. См. задачу 219.
Решение. Окружность, вписанная в треугольник ABC
, касается его стороны AC
в точке M
, поэтому
AM=\frac{1}{2}(AB+AC-BC)=\frac{1}{2}(a+AC-b)
(см. задачу 219). Аналогично
AN=\frac{1}{2}(d+AC-c).
Следовательно,
MN=|AM-AN|=\left|\frac{1}{2}(a+AC-b)-\frac{1}{2}(d+AC-c)\right|=\frac{1}{2}|a+c-b-d|.
Примечание. 1. Если, кроме того, окружности, вписанные в треугольники ABD
и BCD
, касаются диагонали BD
в точках P
и Q
, то PQ=MN
. В частности, если первые две окружности касаются, то касаются и две другие.
2. Окружности, вписанные в два треугольника, на которые диагональ разбивает выпуклый четырёхугольник, касаются тогда и только тогда, когда в четырёхугольник можно вписать окружность.