5272. В данный треугольник вписан квадрат так, что две его вершины принадлежат основанию треугольника, а две другие — боковым сторонам. Найдите сторону квадрата, если основание и высота треугольника равны соответственно a
и h
. Докажите, что площадь квадрата не больше половины площади треугольника.
Ответ. \frac{ah}{a+h}
.
Указание. См. задачу 1520.
Решение. Пусть площадь треугольника равна S
, площадь квадрата равна S_{1}
, а сторона квадрата равна x
. Тогда x=\frac{ah}{a+h}
(см. задачу 1520). Значит,
S_{1}=x^{2}=\frac{a^{2}h^{2}}{(a+h)^{2}},~S=\frac{1}{2}ah.
Следовательно,
S_{1}\leqslant\frac{1}{2}S~\Leftrightarrow~\frac{a^{2}h^{2}}{(a+h)^{2}}\leqslant\frac{1}{4}ah~\Leftrightarrow~4ah\leqslant(a+h)^{2}~\Leftrightarrow~0\leqslant(a-h)^{2}.