5275. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если её диагональ равна d
, а угол между диагональю и основанием равен \alpha
.
Ответ. \frac{1}{2}d^{2}\sin2\alpha
.
Указание. Проекция диагонали равнобедренной трапеции на основание равна средней линии (см. задачу 1921).
Решение. Пусть CH
— высота равнобедренной трапеции ABCD
с основаниями AD
и BC
, диагональю AC=d
и углом CAD
, равным \alpha
.
Тогда AH=\frac{AD+BC}{2}
(см. задачу 1921). Из прямоугольного треугольника ACH
находим, что
AH=AC\cos\alpha=d\cos\alpha,~CH=AC\sin\alpha=d\sin\alpha.
Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot CH=AH\cdot CH=d\cos\alpha\cdot d\sin\alpha=\frac{1}{2}d^{2}\sin2\alpha.