5281. В квадрат вписан другой квадрат. Вычислите угол между сторонами квадрата, если площади их относятся как 2:3
.
Ответ. 15^{\circ}
.
Решение. Пусть вершины K
, L
, M
, N
квадрата KLMN
со стороной b
лежат на сторонах соответственно AB
, BC
, CD
и AD
квадрата ABCD
со стороной a
. Обозначим \angle BKL=\angle ANK=\alpha
. Тогда
AN=BK=KL\cos\alpha=b\cos\alpha,~AK=KN\cos\alpha=a-b\cos\alpha,
\tg\alpha=\frac{AK}{KN}=\frac{a-b\cos\alpha}{b\cos\alpha}.
Значит, b\sin\alpha=a-b\cos\alpha
, а так как квадрат ABCD
подобен квадрату KLMN
с коэффициентом \sqrt{\frac{3}{2}}
, то
\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{a}{b}=\sqrt{\frac{3}{2}},~\frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2},
или \sin(\alpha+45^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{2}
. Отсюда находим, что \alpha+45^{\circ}=60^{\circ}
. Следовательно, \alpha=15^{\circ}
.