5290. Высота CD
прямоугольного треугольника ABC
является диагональю вписанного в треугольник прямоугольника. Найдите площадь прямоугольника, если AB=c
и CD=h
.
Ответ. \frac{h^{3}}{c}
.
Указание. Примените теорему о высоте прямоугольного треугольника, проведённой их вершины прямого угла (см. задачу 2728).
Решение. Пусть M
и N
— проекции точки D
на стороны AC
и BC
соответственно. Тогда AC
и BC
— катеты треугольника ABC
, а CMDN
— прямоугольник, о котором говорится в условии задачи.
По теореме о высоте прямоугольного треугольника, проведённой их вершины прямого угла (см. задачу 2728),
CM=\frac{CD^{2}}{AC}=\frac{h^{2}}{AC},~CN=\frac{CD^{2}}{BC}=\frac{h^{2}}{BC}.
Следовательно,
S_{CMDN}=CM\cdot CN=\frac{h^{2}}{AC}\cdot\frac{h^{2}}{BC}=\frac{h^{4}}{AC\cdot BC}=\frac{h^{4}}{ch}=\frac{h^{3}}{c}.