5291. Диагонали трапеции ABCD
с основанием AB
пересекаются в точке O
. Найдите отношение площади треугольника ADO
к площади трапеции, если AB=a
и CD=b
.
Докажите, что площадь треугольника ADO
меньше четверти площади трапеции ABCD
.
Ответ. \frac{ab}{(a+b)^{2}}
.
Указание. См. задачу 3027.
Решение. Обозначим S_{\triangle ADO}=x
, S_{ABCD}=S
, S_{\triangle COD}=S_{1}
, S_{\triangle AOB}=S_{2}
. Тогда S=(\sqrt{S_{1}}+\sqrt{S_{2}})^{2}
(см. задачу 3027). Треугольник COD
подобен треугольнику AOB
с коэффициентом \frac{CD}{AB}=\frac{b}{a}
, поэтому
\frac{S_{1}}{x}=\frac{CO}{OA}=\frac{b}{a},~\frac{S_{2}}{x}=\frac{OA}{CO}=\frac{a}{b}.
Следовательно,
\frac{x}{S}=\frac{x}{(\sqrt{S_{1}}+\sqrt{S_{2}})^{2}}=\frac{1}{\left(\sqrt{\frac{S_{1}}{x}}+\sqrt{\frac{S_{2}}{x}}\right)^{2}}=\frac{1}{\left(\sqrt{\frac{b}{a}}+\sqrt{\frac{a}{b}}\right)^{2}}=\frac{ab}{(a+b)^{2}},
x=S\cdot\frac{ab}{(a+b)^{2}}=S\cdot\frac{1}{\left(\sqrt{\frac{b}{a}}+\sqrt{\frac{a}{b}}\right)^{2}}\leqslant\frac{1}{4}S,
поскольку \sqrt{\frac{b}{a}}+\sqrt{\frac{a}{b}}\geqslant2
, а так как a\ne b
, то x\lt\frac{1}{4}S
.