5296. Найдите углы треугольника, если его площадь S
выражается через стороны a
и b
формулой S=\frac{1}{4}(a^{2}+b^{2})
.
Ответ. 90^{\circ}
, 45^{\circ}
, 45^{\circ}
.
Указание. a^{2}+b^{2}\geqslant2ab
.
Решение. Пусть угол между сторонами a
и b
равен \gamma
. Тогда S=\frac{1}{2}ab\sin\gamma
, значит,
\sin\gamma=\frac{2S}{ab}=\frac{a^{2}+b^{2}}{2ab}\geqslant1,
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда a=b
. Поэтому a=b
, а \sin\gamma=1
. Следовательно, \gamma=90^{\circ}
, а остальные углы равны по 45^{\circ}
.