5299. Три стороны четырёхугольника равны a
, b
, c
, а два угла, заключённые между ними, равны \beta
и \gamma
. Докажите, что четвёртая сторона d
может быть найдена по формуле
d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab\cos\beta-2bc\cos\gamma+2ac\cos(\beta+\gamma).
(Первая теорема косинусов для четырёхугольника.)
Указание. \overrightarrow{d}^{2}=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})^{2}.
Решение. Пусть в четырёхугольнике ABCD
известно, что AB=a
, BC=b
, CD=c
, \angle ABC=\beta
и \angle BCD=\gamma
. Обозначим
\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},~\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b},~\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{c},~\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{d}.
Тогда
\overrightarrow{d}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}.
Следовательно,
d^{2}=\overrightarrow{d}^{2}=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})^{2}=\overrightarrow{a}^{2}+\overrightarrow{b}^{2}+\overrightarrow{c}^{2}+2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}+2\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}=
=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab\cos(180^{\circ}-\beta)+2bc\cos(180^{\circ}-\gamma)+2ac\cos(180^{\circ}-\beta-\gamma)=
=a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab\cos\beta-2bc\cos\gamma+2ac\cos(\beta+\gamma).
Что и требовалось доказать.