5301. Основания трапеции равны a
и b
(a\gt b
), боковые стороны её пересекаются под прямым углом. Какую наибольшую площадь может иметь такая трапеция?
Ответ. \frac{a^{2}-b^{2}}{4}
.
Указание. Если продолжения боковых сторон трапеции пересекаются под прямым углом, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности (см. задачу 1227).
Решение. Пусть M
и N
— середины оснований соответственно AD
и BC
трапеции ABCD
, а P
и Q
— середины боковых сторон соответственно AB
и CD
.
Боковые стороны трапеции пересекаются под прямым углом, поэтому отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности, т. е. MN=\frac{a-b}{2}
(см. задачу 1227).
Четырёхугольник PMQN
— параллелограмм (см. задачу 1204), причём его площадь вдвое меньше площади трапеции (см. задачу 3019). Обозначим через \alpha
угол между прямыми MN
и PQ
. Тогда
S_{ABCD}=2S_{PMQN}=2\cdot\frac{1}{2}MN\cdot PQ\sin\alpha=MN\cdot PQ\sin\alpha=
=\frac{1}{2}(a-b)\cdot\frac{1}{2}(a+b)\sin\alpha=\frac{a^{2}-b^{2}}{4}\sin\alpha\leqslant\frac{a^{2}-b^{2}}{4},
причём равенство достигается, когда \alpha=90^{\circ}
, т. е. когда MN\perp PQ
. В этом случае трапеция равнобедренная (она симметрична относительно прямой MN
).