5306. Около квадрата описана окружность и в один из образовавшихся сегментов вписан второй квадрат. Найдите сторону второго квадрата, если сторона первого равна a
.
Ответ. \frac{a}{5}
.
Указание. Пусть O
— центр окружности, описанной около квадрата ABCD
, вершины M
и N
квадрата KLMN
лежат на отрезке AB
, вершины K
и L
— на меньшей дуге AB
окружности, P
и Q
— середины отрезков KL
и MN
соответственно. Рассмотрите прямоугольный треугольник OPL
.
Решение. Пусть O
— центр окружности, описанной около квадрата ABCD
, вершины M
и N
квадрата KLMN
лежат на отрезке AB
, вершины K
и L
— на меньшей дуге AB
окружности, P
и Q
— середины отрезков KL
и MN
соответственно. Обозначим через x
сторону квадрата KLMN
.
Диаметр, проходящий через середину хорды, не являющейся диаметром, перпендикулярен её, поэтому OP\perp KL
. Тогда OQ\perp MN
, и
OP=OQ+QM=OQ+QP=\frac{a}{2}+x.
Радиус окружности равен половине диагонали квадрата, т. е. \frac{a\sqrt{2}}{2}
. Из прямоугольного треугольника OPL
получаем, что OL^{2}=OP^{2}+PL^{2}
, или
\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\left(\frac{a}{2}+x\right)^{2}+\frac{x^{2}}{4},
\frac{a^{2}}{2}=\frac{a^{2}}{4}+ax+x^{2}+\frac{x^{2}}{4},~5x^{2}+4ax-a^{2}=0.
Отсюда находим, что x=\frac{a}{5}
.