5320. Дан треугольник ABC
. Из точки M
, принадлежащей прямой AB
, проведены перпендикуляры MP
и MQ
к прямым AC
и BC
. При каком условии отрезок PQ
имеет наименьшую длину?
Докажите, что наименьшее значение PQ
равно \frac{S}{R}
, где S
— площадь треугольника ABC
, R
— радиус описанной около него окружности.
Ответ. Наименьшее значение PQ
принимает в случае, когда CM
— высота треугольника ABC
.
Указание. Точки P
, Q
, C
и M
лежат на одной окружности. Примените теорему синусов.
Решение. Из точек P
и Q
отрезок CM
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром CM
. Пусть высота треугольника ABC
, проведённая из вершины C
, равна h
, \angle ACB=\gamma
. По теореме синусов
PQ=CM\sin\gamma\leqslant h\sin\gamma.
Следовательно, наименьшее значение PQ
принимает в случае, когда CM
— высота треугольника ABC
.
Тогда
PQ=h\sin\gamma=\frac{2S}{AB}\sin\gamma=\frac{S}{\frac{AB}{2\sin\gamma}}=\frac{S}{R}.