5325. Рассмотрим треугольник ABC
со сторонами BC=a
, AC=b
и медианой m_{c}
, проведённой из вершины C
. Докажите, что угол при вершине C
острый, прямой или тупой, в зависимости от того, будет ли s\gt0
, s=0
или s\lt0
, где s=m_{c}^{2}-\frac{1}{4}(a^{2}+b^{2})
.
Указание. Примените формулу для квадрата медианы треугольника (см. задачу 4014).
Решение. Применив формулу для квадрата медианы треугольника (см. задачу 4014) и теорему косинусов, получим, что
s=m_{c}^{2}-\frac{1}{4}(a^{2}+b^{2})=\frac{1}{4}(2a^{2}+2b^{2}-c^{2})-\frac{1}{4}(a^{2}+b^{2})=
=\frac{1}{4}(a^{2}+b^{2}-c^{2})=\frac{1}{4}\cdot2ab\cos\angle C=\frac{ab\cos\angle C}{2}.
Следовательно,
s\gt0~\Leftrightarrow~\cos\angle C\gt0~~\Leftrightarrow~\angle C\lt90^{\circ},
s=0~\Leftrightarrow~\cos\angle C=0~~\Leftrightarrow~\angle C=90^{\circ},
s\lt0~\Leftrightarrow~\cos\angle C\lt0~~\Leftrightarrow~\angle C\gt90^{\circ}.