5335. Основание H
высоты CH
треугольника ABC
делит сторону AB
в отношении 3:1
. Угол ACH
вдвое больше угла BCH
. Найдите углы треугольника ABC
.
Ответ. 30^{\circ}
, 60^{\circ}
, 90^{\circ}
.
Указание. Проведите медиану CM
.
Решение. Первый способ. Обозначим BH=x
, \angle BCH=\alpha
. Тогда \angle ACH=2\alpha
, Заметим, что BH=CH\tg\alpha
и AH=CH\tg3\alpha
, а так как ACH
и BCH
острые углы, то BH\lt AH
, поэтому AH=3x
.
Проведём медиану CM
. Тогда MH=BM-BH=2x-x=x=BH
, а так как высота BH
треугольника BCM
является его медианой, то BC=CM=2x
. Поэтому треугольник BCM
равнобедренный. Значит, CH
— его биссектриса. Тогда
\angle MCH=\angle BCH=\alpha,~\angle ACM=\angle ACH-\angle MCH=2\alpha-\alpha=\alpha.
Опустим перпендикуляр MH
из середины стороны AB
на прямую AC
. Прямоугольные треугольники CPM
и CHM
равны по гипотенузе и острому углу, поэтому MP=MH=x
, а так как AM=2x
, то в прямоугольном треугольнике APM
катет MP
вдвое меньше гипотенузы. Следовательно, \angle BAC=30^{\circ}
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle BMP=90^{\circ}+30^{\circ}=120^{\circ}.
Значит,
\angle ABC=\angle BMC=\frac{1}{2}\angle BMP=\frac{1}{2}\cdot120^{\circ}=60^{\circ}.
Следовательно, \angle ACB=90^{\circ}
.
Второй способ. Обозначим CH=h
, BH=x
, \angle BCH=\alpha
. Тогда \angle ACH=2\alpha
, Заметим, что BH=CH\tg\alpha
и AH=CH\tg3\alpha
, а так как ACH
и BCH
острые углы, то BH\lt AH
, поэтому AH=3x
.
Из прямоугольных треугольников BCH
и ACH
получаем, что
\tg\alpha=\frac{x}{h},~\tg2\alpha=\frac{3x}{h},
а так как \tg2\alpha=\frac{2\tg\alpha}{1-\tg^{2}\alpha}
, то
\frac{3x}{h}=\frac{2\cdot\frac{x}{h}}{1-\left(\frac{x}{h}\right)^{2}},~\frac{3x}{h}=\frac{2xh}{h^{2}-x^{2}},~h^{2}=3x^{2}.
Отсюда находим, что \tg\alpha=\frac{x}{h}=\frac{1}{3}
. Тогда \alpha=30^{\circ}
. Следовательно,
\angle ABC=90^{\circ}-\alpha=60^{\circ},~\angle BCA=3\alpha=90^{\circ},~\angle BAC=30^{\circ}.