5338. Через вершину A
треугольника ABC
и середину E
медианы CD
проведена прямая, пересекающая сторону BC
в точке F
. Докажите, что CF:FB=1:2
.
В каком отношении точка E
делит отрезок AF
?
Ответ. 3:1
.
Указание. Разложите векторы \overrightarrow{AE}
и \overrightarrow{AF}
по неколлинеарным векторам \overrightarrow{AB}
и \overrightarrow{AC}
.
Решение. Пусть \frac{CF}{BF}=\frac{m}{n}
. Тогда
\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC},
\overrightarrow{AF}=\frac{m}{m+n}\overrightarrow{AB}+\frac{n}{m+n}\overrightarrow{AC}
(см. задачу 4186).
Векторы \overrightarrow{AE}
и \overrightarrow{AF}
коллинеарны, поэтому коэффициенты в их разложениях по неколлинеарным векторам \overrightarrow{AB}
и \overrightarrow{AC}
пропорциональны. Значит, \frac{2m}{m+n}=\frac{n}{m+n}
. Отсюда находим, что n=2m
. Следовательно, \frac{CF}{BF}=\frac{m}{n}=\frac{1}{2}
.
Тогда
\overrightarrow{AF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}),
\overrightarrow{AE}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}).
Поэтому
\frac{AF}{AE}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}.
Следовательно, \frac{AE}{EF}=3
.