5340. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе c
, если известно, что медиана, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное катетов.
Решение. Пусть катеты треугольника равны a
и b
, высота и медиана, проведённые из вершины прямого угла, равны h
и m
соответственно, а площадь треугольника равна S
. Тогда
m=\frac{c}{2},~m^{2}=ab,~S=\frac{ab}{2},~S=\frac{ch}{2},
поэтому
h=\frac{2S}{c}=\frac{ab}{c}=\frac{m^{2}}{c}=\frac{\frac{c^{2}}{4}}{c}=\frac{c}{4}.
Отсюда вытекает следующее построение. На отрезке AB=c
как на диаметре строим окружность. На расстоянии, равном \frac{c}{4}
, проводим прямую, параллельную AB
. Если эта прямая имеет общую точку C
с окружностью, то эта точка — вершина прямого угла искомого треугольника.
Действительно, пусть O
— середина AB
, CH
— высота прямоугольного треугольника ABC
, опущенная на гипотенузу. Тогда
AC\cdot BC=AB\cdot CH=c\cdot\frac{c}{4}=\frac{c^{2}}{4}=OC^{2},
т. е. медиана OC
прямоугольного треугольника ABC
, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное катетов. Что и требовалось доказать.