5343. Найдите меньшее основание трапеции, если её высота равна 12, боковые стороны равны 13 и 15, большее основание равно 20.
Ответ. 6 или 16.
Решение. Пусть дана трапеция с основаниями BC
, AD=20
и боковыми сторонами AB=13
, CD=15
.
Через вершину B
проведём прямую, параллельную CD
. Пусть эта прямая пересекает прямую AD
в точке. Тогда BCDP
— параллелограмм, поэтому BP=CD=15
и BC=PD
.
Пусть BH=12
— высота трапеции. Из прямоугольных треугольников ABH
и BHP
находим, что
AH=\sqrt{AB^{2}-BH^{2}}=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=5,
PH=\sqrt{BP^{2}-BH^{2}}=\sqrt{15^{2}-12^{2}}=9.
Если точка H
лежит на отрезке AP
, то AP=AH+PH=5+9=14
. Следовательно,
BC=PD=AD-AP=20-14=6.
Если же точка H
лежит вне отрезка AP
, то AP=|PH-AH|=9-5=4
. Следовательно,
BC=PD=AD-AP=20-4=16.