5347. На окружности с диаметром AB
постройте точку M
, равноудалённую от точки A
и от касательной к окружности, проведённой в точке B
.
Решение. Предположим, что нужная точка M
построена. Пусть P
и H
— основания перпендикуляров, опущенных из точки M
на указанную касательную и на диаметр AB
соответственно. Обозначим AM=MP=x
, R
— радиус окружности.
Точка M
лежит на окружности с диаметром AB
, поэтому \angle AMB=90^{\circ}
. Из прямоугольных треугольников AMB
, AMH
и BPM
находим, что
MB^{2}=AB^{2}-MA^{2}=4R^{2}-x^{2},~
MH^{2}=MA^{2}-AH^{2}=MA^{2}-(AB-BH)^{2}=
=MA^{2}-(AB-MP)^{2}=x^{2}-(2R-x)^{2}=4Rx-4R^{2},
MB^{2}=MP^{2}+BP^{2}=MP^{2}+MH^{2}=x^{2}+(4Rx-4R^{2}).
Из уравнения
4R^{2}-x^{2}=x^{2}+(4Rx-4R^{2})
находим, что x=R\sqrt{5}-R
.
Отсюда вытекает следующее построение. Строим прямоугольный треугольник по двум катетам R
и 2R
. Его гипотенуза равна R\sqrt{5}
. Затем строим разность отрезков R\sqrt{5}
и R
. Искомая точка M
— пересечение данной окружности с окружностью радиуса R\sqrt{5}-R
с центром A
.