5356. Из концов отрезка AB
радиусом, равным его длине, проведены дуги, пересекающиеся в точке C
. Впишите в криволинейный треугольник ABC
окружность и вычислите её радиус, если AB=a
.
Ответ. \frac{3}{8}a
.
Решение. Предположим, что нужная окружность построена. Пусть её радиус равен r
, O
— центр, M
— точка касания с дугой BC
, D
— середина отрезка AB
.
Линия центров касающихся окружностей проходит через их точку касания, поэтому точка O
лежит на отрезке AM
. Тогда OA=AM-OM=a-r
. Точки C
и O
равноудалены от концов отрезка AB
, поэтому они лежат на серединном перпендикуляре CD
к этому отрезку. При этом OD=r
и AD=\frac{a}{2}
.
По теореме Пифагора OA^{2}=OD^{2}+AD^{2}
, или (a-r)^{2}=r^{2}+\frac{a^{2}}{4}
, откуда находим, что r=\frac{3}{8}a
.
Отсюда вытекает следующее построение. На серединном перпендикуляре к данному отрезку AB
в полуплоскости, содержащей точку C
, откладываем отрезок DO
, равный \frac{3}{8}a
. Затем с центром в точке O
проводим окружность радиусом \frac{3}{8}a
.
Пусть продолжение отрезка AO
за точку O
пересекает построенную окружность в точке M
. Тогда
OA+OM=\sqrt{AD^{2}+OD^{2}}+OM=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{9a^{2}}{64}}+\frac{3}{8}a=\frac{5}{8}a+\frac{3}{8}a=a.
Значит, построенная окружность коснётся дуги BC
(а значит, и дуги AC
) в точке M
. Следовательно, построенная окружность удовлетворяет условию задачи.
Другой способ построения. На серединном перпендикуляре к отрезку AB
в полуплоскости, содержащей точку C
, отложим отрезок DE
, равный AB
. Затем проведём серединный перпендикуляр к отрезку AE
. Точка O
его пересечения с прямой DE
есть центр искомой окружности.
Действительно, если продолжение отрезка AO
пересекает дугу BC
в точке M
, то
OC=OM-OA=a-OA=a-OE=OD.
Следовательно, окружность радиуса OC=OD
с центром O
касается данного отрезка AB
и данной дуги BC
(а значит, и дуги AC
).