5361. Через точку, лежащую внутри данного угла, проведите прямую так, чтобы сумма отрезков, отсекаемых этой прямой на сторонах угла, была наименьшей.
Указание. Через данную внутри угла точку проведите прямые, параллельные сторонам данного угла.
Решение. Пусть точка M
лежит внутри угла с вершиной O
, а прямая, проходящая через точку M
, пересекает стороны угла в точках P
и Q
. Через точку M
проведём прямые, параллельные сторонам угла. Пусть A
и B
— точки пересечения этих прямых с лучами OP
и OQ
соответственно.
Обозначим OA=a
, OB=b
, AP=x
, BQ=y
. Четырёхугольник OAMB
— параллелограмм, поэтому BM=OA=a
и AM=OB=b
. Из подобия треугольников PAM
и MBQ
получаем, что \frac{x}{a}=\frac{b}{y}
, значит, xy=ab
. Следовательно,
OP+OQ=(a+x)+(b+y)=(a+b)+(x+y)\geqslant
\geqslant a+b+2\sqrt{xy}=a+b+2\sqrt{ab},
причём равенство достигается в случае, когда x=y=\sqrt{ab}
.
Отсюда вытекает следующее построение. Через точку M
проводим прямые, параллельные сторонам угла. Пусть A
и B
— точки пересечения этих прямых со сторонами угла. На продолжениях отрезков OA
и OB
за точки A
и B
откладываем отрезки OP=OQ=\sqrt{ab}
(см. задачу 1986).