5364. В плоскости равностороннего треугольника через его центр проведена произвольная прямая. Докажите, что сумма квадратов расстояний от вершин треугольника до этой прямой не зависит от выбора прямой.
Указание. Примените метод координат и формулу расстояния от точки до прямой (см. задачу 4249).
Решение. Пусть ABC
— равносторонний треугольник со стороной a
, O
— его центр, M
— середина BC
. Тогда сумма квадратов расстояний от вершин треугольника до прямой OA
равна
BM^{2}+CM^{2}=\frac{a^{2}}{4}+\frac{a^{2}}{4}=\frac{a^{2}}{2}.
Докажем, что сумма квадратов расстояний от вершин треугольника до любой другой прямой, проходящей через точку O
, также равна \frac{a^{2}}{2}
.
Выберем прямоугольную систему координат, взяв за начало точку O
и направив ось Oy
по лучу OA
, а ось Ox
— по лучу, сонаправленному с лучом BC
.
Уравнение произвольной прямой, проходящей через точку O
и не совпадающей с прямой OA
, имеет вид y-kx=0
(см. задачу 4204). Координаты вершин треугольника ABC
: A\left(0;\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)
, B\left(-\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)
, C\left(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)
.
Пусть d_{a}
, d_{b}
, d_{c}
— расстояния от точек соответственно A
, B
, C
до прямой y-kx=0
. По формуле расстояния от точки до прямой (см. задачу 4249) находим, что
d_{a}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{1+k^{2}}},~d_{b}=\frac{-\frac{a\sqrt{3}}{3}-\frac{ka}{2}}{\sqrt{1+k^{2}}},~d_{c}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}-\frac{ka}{2}}{\sqrt{1+k^{2}}}.
Следовательно,
d_{a}^{2}+d_{b}^{2}+d_{c}^{2}=\frac{\frac{a^{2}}{3}}{1+k^{2}}+\frac{\left(-\frac{a\sqrt{3}}{3}-\frac{ka}{2}\right)^{2}}{1+k^{2}}+\frac{\left(-\frac{a\sqrt{3}}{3}-\frac{ka}{2}\right)^{2}}{1+k^{2}}=
=\frac{a^{2}\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{2}k^{2}\right)}{1+k^{2}}=\frac{a^{2}(1+k^{2})}{2(1+k^{2})}=\frac{a^{2}}{2}.
Что и требовалось доказать.