5366. Дан треугольник ABC
. Найдите геометрическое место точек M
, для которых MA^{2}+MB^{2}=2MC^{2}
.
Ответ. Прямая, проходящая через центр описанной окружности треугольника ABC
перпендикулярно медиане CD
.
Указание. Примените метод координат (или скалярное произведение векторов).
Решение. Первый способ. Выберем прямоугольную систему координат, взяв за начало середину D
стороны AB
и направив ось абсцисс по лучу DB
, а ось ординат по лучу, сонаправленному лучу HC
, где H
— основание высоты CH
треугольника ABC
.
Координаты середины стороны AB
и вершин треугольника: D(0;0)
, C(c;d)
, A(-a;0)
, B(a;0)
, где a
, c
и d
— фиксированные числа. Пусть (x;y)
— координаты точки M
. По формуле расстояния между точками (см. задачу 4201) находим, что
MA^{2}=(x+a)^{2}+y^{2},~MB^{2}=(x-a)^{2}+y^{2},~MC^{2}=(x-c)^{2}+(y-d)^{2}.
Тогда
MA^{2}+MB^{2}=2MC^{2}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~(x+a)^{2}+y^{2}+(x-a)^{2}+y^{2}=2(x-c)^{2}+2(y-d)^{2}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~2x^{2}+2y^{2}+2a^{2}=2x^{2}+2y^{2}+2c^{2}+2d^{2}-4xc-4yd~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~cx+dy=\frac{c^{2}+d^{2}-a^{2}}{2}.
Получили прямую с угловым коэффициентом k_{1}=-\frac{c}{d}
. Прямая CD
, проходящая через начало координат D
, задаётся уравнением y=k_{2}x
, где k_{2}=\frac{d}{c}
(см. задачу 4204). Поскольку k_{1}\cdot k_{2}=-\frac{c}{d}\cdot\frac{d}{c}=-1
, эти прямые перпендикулярны (см. задачу 4243).
Центр описанной окружности треугольника ABC
лежит на серединном перпендикуляре к стороне AB
, т. е. на прямой x=0
. Эта прямая пересекает прямую cx+dy=\frac{c^{2}+d^{2}-a^{2}}{2}
в точке O\left(0;\frac{c^{2}+d^{2}-a^{2}}{2d}\right)
. Докажем, что O
— центр описанной окружности треугольника ABC
. Для этого достаточно доказать, что OC=OB
.
Имеем:
OC=OB~\Leftrightarrow~OC^{2}=OB^{2}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~c^{2}+\left(\frac{c^{2}+d^{2}-a^{2}}{2d}-d\right)^{2}=a^{2}+\left(\frac{c^{2}+d^{2}-a^{2}}{2d}\right)^{2}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~c^{2}+\left(\frac{c^{2}+d^{2}-a^{2}}{2d}\right)^{2}-(c^{2}+d^{2}-a^{2})+d^{2}=a^{2}+\left(\frac{c^{2}+d^{2}-a^{2}}{2d}\right)^{2}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~a^{2}=a^{2}.
Значит, O
— центр описанной окружности треугольника ABC
. Следовательно, искомое геометрическое место точек есть прямая cx+dy=\frac{c^{2}+d^{2}-a^{2}}{2}
, проходящая через центр описанной окружности треугольника ABC
перпендикулярно медиане CD
.
Второй способ. Пусть O
— произвольная точка плоскости. Тогда
MA^{2}+MB^{2}=2MC^{2}~\Leftrightarrow~(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OM})^{2}+(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM})^{2}=2(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OM})^{2}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~2\overrightarrow{OM}(2\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB})=2OC^{2}-OA^{2}-B^{2}.
Если O
— центр описанной окружности треугольника ABC
, а D
— середина стороны AB
, то
2\overrightarrow{OM}(2\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB})=2OC^{2}-OA^{2}-OB^{2}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~2\overrightarrow{OM}(2\overrightarrow{OC}-2\overrightarrow{OD})=0~\Leftrightarrow~\overrightarrow{OM}(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD})=0~\Leftrightarrow~\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{CD}=0,
т. е. OM\perp CD
. Таким образом, искомое ГМТ — прямая, проходящая через центр описанной окружности треугольника ABC
параллельно медиане CD
.