5382. Докажите, что все ромбы, вписанные в данный прямоугольник, подобны.
Указание. Все рассматриваемые ромбы подобны ромбу с вершинами в серединах сторон данного прямоугольника.
Решение. Докажем более сильное утверждение: все ромбы с вершинами на прямых, содержащих противоположные стороны данного прямоугольника, подобны (предполагается, что противоположные вершины ромба лежат на параллельных прямых).
Пусть ABCD
— данный прямоугольник, вершины X
и Z
ромба XYZT
лежат на прямых AD
и BC
, а вершины Y
и T
— на прямых соответственно AB
и CD
. Докажем, что ромб XYZT
подобен ромбу с вершинами в серединах K
, L
, M
, N
сторон соответственно AD
, AB
, BC
, CD
прямоугольника ABCD
.
Пусть диагональ YT
ромба XYZT
пересекает диагональ AC
прямоугольника ABCD
в точке O
. Прямоугольные треугольники XAY
и ZCT
равны по гипотенузе и острому углу, поэтому AY=CT
. Тогда треугольники AOY
и COT
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, следовательно точка O
— общая середина отрезков AC
и YT
. Таким образом, центр любого из рассматриваемых ромбов (в частности, и ромба KLMN
) совпадает с центром прямоугольника ABCD
.
Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому стороны угла KOX
соответственно перпендикулярны сторонам угла LOY
. Значит, прямоугольные треугольники KOX
и LOY
подобны. Тогда \frac{OX}{OY}=\frac{OK}{OL}
, поэтому прямоугольный треугольник XOY
подобен прямоугольному треугольнику KOL
. Значит, ромб XYZT
подобен ромбу KLMN
. Таким образом, все рассматриваемые ромбы подобны ромбу с вершинами в серединах сторон прямоугольника ABCD
. Следовательно, все такие ромбы подобны между собой. Что и требовалось доказать.