5385. Дан треугольник ABC
. Найдите на прямой AB
точку M
, для которой сумма радиусов описанных окружностей треугольников ACM
и BCM
была бы наименьшей.
Ответ. M
— основание высоты, проведённой из вершины A
.
Указание. Примените теорему синусов.
Решение. Пусть R_{a}
и R_{b}
— радиусы описанных окружностей треугольников ACM
и BCM
соответственно, \angle AMC=\varphi
.
По теореме синусов
R_{a}=\frac{AC}{\sin\angle AMC}=\frac{AC}{2\sin\varphi},~R_{b}=\frac{BC}{\sin\angle BMC}=\frac{BC}{2\sin(180^{\circ}-\varphi)}=\frac{BC}{2\sin\varphi},
поэтому
R_{a}+R_{b}=\frac{AC}{2\sin\varphi}+\frac{BC}{2\sin\varphi}=\frac{AC+BC}{2\sin\varphi}\geqslant\frac{AC+BC}{2},
причём равенство достигается в случае, когда \sin\varphi=1
, т. е. при \varphi=90^{\circ}
. Следовательно, AM
— высота треугольника ABC
.