5393. Треугольник ABC
со сторонами BC=a
, AC=b
и AB=c
разделён отрезком CM
на два треугольника ACM
и BCM
, причём окружности, вписанные в эти треугольники, касаются между собой. Найдите AM
.
Ответ. \frac{b+c-a}{2}=p-a
, где p
— полупериметр треугольника ABC
.
Указание. См. задачу 219.
Решение. Пусть окружности, вписанные в треугольники ACM
и BCM
касаются отрезка CM
в точке P
. Тогда, если p_{1}
и p_{2}
— полупериметры этих треугольников, то
CP=p_{1}-AM=\frac{b+CM-AM}{2},~
CP=p_{2}-BM=\frac{a+CM-BM}{2}=\frac{a+CM-c+AM}{2}
(см. задачу 219).
Из равенства
\frac{b+CM-AM}{2}=\frac{a+CM-c+AM}{2},
находим, что 2AM=b+c-a
. Следовательно,
AM=\frac{b+c-a}{2}=p-a,
где p
— полупериметр треугольника ABC
.
Примечание. Если окружности, вписанные в треугольники ACM
и BCM
, касаются отрезка CM
в одной и той же точке, то M
— точка касания со стороной AB
окружности, вписанной в треугольник ABC
(см. задачу 708).